Département de mathématiques
Année universitaire 2012/2013
Analyse III.
Examen
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
(1) Séries numériques
Etudier la nature des séries numériques suivantes :
1X
n=0
1 n + n2
n!
;
1X
n=1
1
1...
Plus
Département de mathématiques Année universitaire 2012/2013 Analyse III. Examen — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — (1) Séries numériques Etudier la nature des séries numériques suivantes : 1X n=0 1 n + n2 n! ; 1X n=1 1 1 + 1 2n 1 n2 1X n=1 2 p n ; 1X n=1 1 p n 1 p n + 1 ; X n 1 ( 1)n + 1 n — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — (2) Séries de fonctions Soit la série de fonctions :1X n=1 fn (x) = 1X n=1 x (1 + x2)n ; x 2 [0; 1] a) Calculer la somme S(x) de la série sur [0; 1] b) Montrer que cette série converge absolument. c) Est ce que la convergence est uniforme sur [0; 1] : d) Soit la série de terme général : un(x) = ( 1)n x (1 + x2)n ; n 0; x 2 [0; 1] Montrer que la série est uniformément convergente, mais qu’elle n’est pas normalement convergente sur [0; 1] : — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — – (3) Séries de Fourier Soit f la fonction périodique de période 2 dé…nie comme su
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Par m_hannachi
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Publiée le 19 Fév. 2013
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Département de mathématiques
Année universitaire 2012/2013
Analyse III.
Examen
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
(1) Séries numériques
Etudier la nature des séries numériques suivantes :
1X
n=0
1 n + n2
n!
;
1X
n=1
1
1...
Plus
Département de mathématiques Année universitaire 2012/2013 Analyse III. Examen — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — (1) Séries numériques Etudier la nature des séries numériques suivantes : 1X n=0 1 n + n2 n! ; 1X n=1 1 1 + 1 2n 1 n2 1X n=1 2 p n ; 1X n=1 1 p n 1 p n + 1 ; X n 1 ( 1)n + 1 n — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — (2) Séries de fonctions Soit la série de fonctions :1X n=1 fn (x) = 1X n=1 x (1 + x2)n ; x 2 [0; 1] a) Calculer la somme S(x) de la série sur [0; 1] b) Montrer que cette série converge absolument. c) Est ce que la convergence est uniforme sur [0; 1] : d) Soit la série de terme général : un(x) = ( 1)n x (1 + x2)n ; n 0; x 2 [0; 1] Montrer que la série est uniformément convergente, mais qu’elle n’est pas normalement convergente sur [0; 1] : — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — – (3) Séries de Fourier Soit f la fonction périodique de période 2 dé…nie comme su
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Université Ferhat Abbes, Faculté des sciences
Département de mathématiques
Année universitaire 2011/2012
Analyse III
Examen du 26 janvier 2012 Durée : 1h30
(1) Séries numériques
Etudier la convergence des séries numériques suivantes :
1X
n=0
3n + 1
n + 2
n 1X
n=0
( 1)
n
1 +
p
n
1X
n=0
(n!)
2
(2n)!
1X
n=1
sin n
n2
1X
n=1
(n +...
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Université Ferhat Abbes, Faculté des sciences Département de mathématiques Année universitaire 2011/2012 Analyse III Examen du 26 janvier 2012 Durée : 1h30 (1) Séries numériques Etudier la convergence des séries numériques suivantes : 1X n=0 3n + 1 n + 2 n 1X n=0 ( 1) n 1 + p n 1X n=0 (n!) 2 (2n)! 1X n=1 sin n n2 1X n=1 (n + 1) (n + 2) ::: (2n) (2n) n (2) Suites de fonctions Soit la suite de fonctions fn (x) = nx2 e nx ; x 2 R+ i) Calculer la limite simple de la suite de fonctions : lim n!+1 . fn (x) = f(x); x 2 R+ ii) Calculer la norme : kfn fk1 = sup jfn(x)j x 2 R+ iii) Est ce que la convergence est uniforme sur R+ ? (3) Série de Fourier Soit f la fonction périodique de période 2 ; dé…nie par f(x) = 2 jxj ; x 2 [ ; ] : i) Tracer le graphe de f sur l’intervalle [ 3 ; 3 ] : ii) Calculer les coe¢ cients de Fourier et écrire la série de Fourier de f : iii) Calculer, en utilisant la formule de Liapounov-Parseval, la somme de la série numérique : 1X n=0 1 (2n + 1) 4
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0.
1
Examen de février 2010.
Durée : 1 h 30
(1) Séries numériques ( 7 points )
Donner l’expression du terme général de la série
1
1
2
5
+
3
9
4
13
+
5
17
:::::
Etudier alors la convergence
Etudier la convergence des 5 séries numériques suivantes :
X
n 1
1
p
n
;
X
n 1
log n log 1 +
1
n
log 1 +
1
n2
X
n 0
3 + n2
n!
;
X
n 0
n...
Plus
0. 1 Examen de février 2010. Durée : 1 h 30 (1) Séries numériques ( 7 points ) Donner l’expression du terme général de la série 1 1 2 5 + 3 9 4 13 + 5 17 ::::: Etudier alors la convergence Etudier la convergence des 5 séries numériques suivantes : X n 1 1 p n ; X n 1 log n log 1 + 1 n log 1 + 1 n2 X n 0 3 + n2 n! ; X n 0 n + 1 n + 2 n2 ; X n 1 ( 1) n + 1 n : 2 Séries de fonctions ( 6 points ) Soit la série de fonctions S(x) = 1X n=0 fn (x) = 1X n=0 x2 (1 x) n . ; x 2 [0; 1] (i) Calculer la somme S(x) de la série sur [0; 1] (ii) Calculer la norme suivante : kfnk1 = sup jfn(x)j x2[0;1] (iii) Caractériser les types de convergence. (3) Séries de Fourier ( 7 points ) Soit f la fonction périodique de période 2 égale à cos x 2 sur [ ; ] Tracer le graphe de f sur l’intervalle [ 3 ; 3 ] Calculer a0 et bn Montrer que : an = 4 ( 1) n+1 (4n2 1) Donner le développement de f en série de Fourier 1
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Par m_hannachi
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Publiée le 18 Jan. 2012
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Année 2011/2012 Analyse 3 Série n 4
Exercices sur les séries de Fourier
1 Développer en série de Fourier la fonction 2 -périodique dé…nie
sur ] ; + [ par f(x) = x2
:
En déduire que :
A =
1X
n=1
1
n2
=
2
6
; B =
1X
n=1
( 1)
n+1
n2
=
2
12
; C =
1X
n=1
1
(2n 1)
2 =
2
8
En utilisant l’égalité de Liapounov- Parseval
a2
0
2
+...
Plus
Année 2011/2012 Analyse 3 Série n 4 Exercices sur les séries de Fourier 1 Développer en série de Fourier la fonction 2 -périodique dé…nie sur ] ; + [ par f(x) = x2 : En déduire que : A = 1X n=1 1 n2 = 2 6 ; B = 1X n=1 ( 1) n+1 n2 = 2 12 ; C = 1X n=1 1 (2n 1) 2 = 2 8 En utilisant l’égalité de Liapounov- Parseval a2 0 2 + 1X n=1 a2 n + b2 n = 1 Z f2 (x)dx calculer les sommes: D = 1X n 1 1 n4 ; E = 1X n=0 1 (2n + 1) 4 2 Soit f la fonction de période 2 et impaire, égale à x 2 sur ]0; ] i) Tracer le graphe de f sur l’intervalle [ 2 ; 2 ] ii) Calculer les coe¢ cients de Fourier . iii) Ecrire la fonction f en série de Fourier . En déduire la valeur de : X n 1 sin(n) n : 3 Soit f la fonction de période 2 , égale à : f(x) = 0 si x 2 ] ; 0] 4x si x 2 ]0; ] Tracer le graphe de f sur l’intervalle [ 3 ; 3 ] Calculer les coe¢ cients de Fourier et donner le développement de f en série de Fourier Etudier le cas x = 0; en déduire la valeur de la somme de la série numérique: X n 1 1 (2n 1) 2 1
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Publiée le 12 Déc. 2011
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Table des matières
1 Séries numériques 2
1.
1 Somme d’une série .
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.
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.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1.
2 Condition nécessaire de convergence .
.
.
.
.
.
.
3
1.
3 Exemple fondamental .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
1.
3.
1 Les séries géométriques .
....
Plus
Table des matières 1 Séries numériques 2 1. 1 Somme d’une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1. 2 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . 3 1. 3 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. 3. 1 Les séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. 4 Critères de convergence des séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1. 4. 1 Comparaison de séries . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1. 4. 2 Régle de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1. 4. 3 Régle de Gauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. 4. 4 Comparaison avec une intégrale . . . . . . . 12 1. 5 Série alternée. Critère de Leibniz . . . . . . . . . . 13 1. 6 Séries à termes de signes quelconques . . . . . . 13 1
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Publiée le 14 Oct. 2011
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Table des matières
1 Normes et espaces normés.
2
2 Fonctions à plusieurs variables 6
3 Extréma de fonctions à deux variables 15
4 Formes di¤érentielles 20
5 Intégrales curvilignes 26
6 Intégrales multiples 32
7 Sujets d’examens 39
7.
1 Examen du 16 juin 2009 .
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
Plus
Table des matières 1 Normes et espaces normés. 2 2 Fonctions à plusieurs variables 6 3 Extréma de fonctions à deux variables 15 4 Formes di¤érentielles 20 5 Intégrales curvilignes 26 6 Intégrales multiples 32 7 Sujets d’examens 39 7. 1 Examen du 16 juin 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7. 2 Examen du 28 juin 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7. 3 Examen du 31 mai 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Analyse 4 Le module " Analyse 4 " est enseigné S4 dans la …lière MI avec le programme suivant Calcul di¤érentiel sur Rn Extrémas Intégrales multiples 1
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Publiée le 5 Août 2011
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1 Analyse 3 Devoir 2010/2011
1.
Donner la nature des séries numériques suivantes :
(a)
X
n 2
1
(ln(n))
n
(b)
X
n 1
nn
(n + 1) (n + 2) :::::(n + n)
(c)
X
n 1
0
@e
1
n e
1
n + a
1
A
(d)
X
n 1
2n 1
n
e 2n
(e)
X
n 1
a +
1
n
n
2.
Séries de fonctions
Etudier la convergence simple, uniforme et normale des séries de fonctions un...
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1 Analyse 3 Devoir 2010/2011 1. Donner la nature des séries numériques suivantes : (a) X n 2 1 (ln(n)) n (b) X n 1 nn (n + 1) (n + 2) :::::(n + n) (c) X n 1 0 @e 1 n e 1 n + a 1 A (d) X n 1 2n 1 n e 2n (e) X n 1 a + 1 n n 2. Séries de fonctions Etudier la convergence simple, uniforme et normale des séries de fonctions un dé…nies sur [0; 1] dont le terme général est le suivant a) un(x) = 1 n + xn2 b) un(x) = ( 1) n nx + p n c) un(x) = xn (1 x) d) un(x) = ( 1) n xn (1 x) e) un(x) = arctan(nx) n2 3 Soit un la fonction dé…nie sur [0; 1[ par un(x) = 1 n2x + n3 Montrer que la série de fonctions de terme général un(x) converge uniformément sur [0; 1[vers une fonction indé…niment dérivable. 4 Séries entières 1
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Publiée le 24 Déc. 2010
Pages: 3
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Analyse 3 ( 2010/2011)
Séries d"exercices n 3
1 Calculer le rayon de convergence et la somme de la série entière
1X
n=1
n xn
Etudier la série pour x = R et x = 1:
2 Calculer le rayon de convergence et la somme de la série entière
1X
n=1
n2
xn
Etudier la série pour x = R et x = 1:
3 Calculer le rayon de convergence et la somme de...
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Analyse 3 ( 2010/2011) Séries d"exercices n 3 1 Calculer le rayon de convergence et la somme de la série entière 1X n=1 n xn Etudier la série pour x = R et x = 1: 2 Calculer le rayon de convergence et la somme de la série entière 1X n=1 n2 xn Etudier la série pour x = R et x = 1: 3 Calculer le rayon de convergence et la somme de la série 1X n=2 n xn n2 1 4 Développer en série entière les fonctions suivantes ecos x ; (1 + x) x x (1 x) 2 ; ln cos (x) 5 Calculer le rayon de convergence et la somme de la série 1X n=0 n2 + 4n + 1 n! xn 1
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Publiée le 5 Déc. 2010
Pages: 4
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Série d’exercices n 2
1.
Soit la suite de fonctions : fn(x) = sin
x
n
dé…nie sur R.
Calculer la limite de fn:
Est ce que la convergente est uniforme sur R.
2 Soit fn(x) =
x2
1 + x2
n
sur R.
Calculer la limite simple.
Montrer que la convergence n’est pas uniforme sur R.
Montrer que la convergence est uniforme sur tout...
Plus
Série d’exercices n 2 1. Soit la suite de fonctions : fn(x) = sin x n dé…nie sur R. Calculer la limite de fn: Est ce que la convergente est uniforme sur R. 2 Soit fn(x) = x2 1 + x2 n sur R. Calculer la limite simple. Montrer que la convergence n’est pas uniforme sur R. Montrer que la convergence est uniforme sur tout segment I = [ a; a] ; a > 0: 3 Soit fn(x) = e n 1 n x 1) Etudier la convergence simple sur R. 2) Montrer que la convergence est uniforme sur tout intervalle I = ] 1; b] : 3) Est ce que la convergence est uniforme R. 4 On se donne une série de fonctions dé…nie sur R+ par son terme général un(x) = x n2 + x2 a) Montrer que la série de fonctions est simplement convergente sur R+ . b) Montrer que la série n’est pas uniformément convergente sur R+ . c) Montrer que la série alternée 1X n=0 ( 1)n un(x) converge uniformément sur R+ mais la convergence n’est pas normale. 5 Soit la série de fonctions F(x) = X n 1 fn(x). = X n 1 x n e nx ; x 2 IR+ = [0; 1[ (i) Montrer que l
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Publiée le 5 Déc. 2010
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