EXEMPLES DE DEMONSTRATIONS CLASSIQUES PAR LES AIRES

Thème d'étude : EXEMPLES DE DEMONSTRATIONS CLASSIQUES PAR LES AIRES 1. Introduction historique : Avant Euclide (300 avant notre ère), les géomètres grecs s’intéressent surtout aux problèmes de mesures : mesures de longueurs, d’aires, de volumes. (Le mot géométrie est formé à partir des mots grecs gê «terre » et métrum «mesure »). Les propriétés des corps, en particulier les propriétés géométriques, sont définies par des rapports de nombres entiers, et les nombres peuvent être représentés par des figures. (Cette conception de la mesure se réduisant aux nombres entiers a été systématisée par l’école pythagoricienne). Le livre appelé Les Eléments d’Euclide contient le premier exposé systématique, qui nous soit parvenu, de la géométrie sous forme déductive. Dans ce livre, Euclide, part de premiers principes qui s’imposent à nous comme vrais, mais impossibles à démontrer : ce sont les axiomes (par exemple, par deux points passe une seule droite). A l’aide de ces axiomes, il aboutit à des vérités (les théorèmes) que l’on peut ainsi connaître par le seul moyen du raisonnement. Dans les Eléments, on trouve les démonstrations des théorèmes de Pythagore et de Thalès. Pour trouver des relations entre grandeurs géométriques, Euclide emploie systématiquement la comparaison des aires (ainsi lorsque Euclide dit que deux parallélogrammes sont égaux cela signifie que leurs aires sont égales). Nous donnons ici les démonstrations, selon les idées d’Euclide, des deux plus importants théorèmes de géométrie, que sont le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès. (D’après Mathématiques au fil des âges, IREM, Groupe Epistémologie et Histoire).