Cours sur les fonctions

Chapitre n° …. : LES FONCTIONS, généralités Introduction : Dans le langage usuel, l’idée de dépendance est très courante. On dit par exemple : « le prix d’un billet de chemin de fer dépend de la distance », « la minceur de votre taille dépend de votre régime alimentaire », …, mais cette dépendance est souvant vague. En sciences, et en mathématiques en particulier, la notion de dépendance entre deux grandeurs est exprimée par le terme de fonction, qui implique une définition précise. 1. Notion de fonction Définition : On définit une fonction f quand on précise  un intervalle ou une réunion d’intervalles de R, noté(e) fD  un procédé de calcul qui, à chaque réel x de fD , associe un unique réel y noté )(xf . On résume ces informations en notant : )( : xfy R x Df f    On lit : « f est la fonction définie sur fD , qui à x associe )(xfy  » Attention :  « )(xf » ne se lit pas « f facteur de x », mais « f de x », ce n’est pas une multiplication.  f n’est pas un nombre, alors que )(xf est un nombre. Vocabulaire :  fD est l’ensemble (ou domaine) de définition de f .  x est la variable (cette lettre x n’a pas de signification particulière, on peut en utiliser une autre, comme u , ou t –en physique, où la variable est souvent le temps, on utilise plus facilement t comme variable–).  )(xfy  est l’image de x par f .  x est un antécédent de y par f . Comment calculer un domaine de définition lorsqu’il n’est pas précisé dans l’énoncé ? On convient que c’est l’ensemble des réels x pour lesquels )(xf existe. Exemples : 2 : xxf  (qu’on peut aussi écrire 2 : uuf  par exemple) 2 )( xxf  existe pour tout réel x , donc le domaine de définition de f est R : RDf  1 : 2 x x xg  . Le calcul de )(xg n’est possible que si 01 x , c’est-à-dire si 1x . Donc le domaine de définition de g est : [;1][1;] gD . xxh 2:  . Le calcul de )(xh n’est possible que si 02  x , c’est-à-dire si x2 . Donc le domaine de définition de h est ]2;] hD .