Devoir Surveillé

Devoir Surveillé n°. . . Exercice 1 Soit IJK un triangle rectangle en I, et tel que IJ = 5 et JK = 13. On appelle H le pied de la hauteur issue de I 1) Calculer IK 1 2) Démontrer que les trois triangles IJK, JKH et IJH sont de même forme 2 3) Démontrer les relations suivantes : IJ² = HJ × JK, IK² = HK × JK, HI² = HJ × HK 2 3) En déduire les longueurs HI, HJ et HK 1 Exercice 2 Soit un carré ABCD, I le milieu du côté [BC] et J l'intersection entre (AI) et (BD). Note : les questions 1) et 2) d'une part et 3) et 4) d'autre part sont indépendantes. 1) Construire l'image du carré ABCD par la symétrie orthogonale s d'axe (AI) : l'image sera notée A'B'C'D' 2 2) Démontrer que les deux triangles ABI et A'B'I sont isométriques 1,5 3) Démontrer que les triangles ADJ et BIJ sont de même forme 2 4) Trouver une relation entre l'aire de BIJ et celle de ADJ 1,5 Exercice 3 Dans cet exercice, la démarche sera notée autant que le résultat : même si vous ne parvenez pas à la solution, des points importants seront accordés pour une figure bien construite, codée en accord avec ce que vous pouvez déduire des hypothèses, sur des conjectures que vous pourriez faire, ou des pistes pouvant mener à la conclusion. . Par ailleurs, une attention très forte sera portée : • aux notations employées • à la validité de chacun des pas de démonstration utilisés, qui doivent être étayés par des propriétés connues. Soit ABCD un parallélogramme. E et F sont deux points de la diagonale [BD] tels que DE = BF (E et F sont choisis distincts). Démontrer que le quadrilatère AECF est un parallélogramme. 7 A B CD I J