Devoir à la maison sur les fonctions usuelles

Devoir de mathématiques n°…… Pour …………………. Exercice n°1: 1) Etudier les variations (sur le même modèle que pour la fonction 1 x , faite en classe) des fonctions suivantes: (cad, le domaine de définition, la parité, si nécessaire, le sens de variation, le tableau de variation et minimum/maximum, s’il y en a) 2) Faire un tableau de valeur pour chacune des fonctions suivantes et tracer leur représentation graphique en prenant bien soin de se placer dans un repère (O ;  i ;  j ) orthonormé. Les fonctions sont définies par : f(x) = x² (on étudiera sur ]- ;0] et [0 ;+[) g(x) = x³ indication : u³-v³ = (u-v)(u²+uv+v²) h(x) = x²-8x+12 (on étudiera sur ]- ;4] et [4 ;+[) Exercice n°2: Résoudre les systèmes de deux équations à deux inconnues suivants : { 3x-5y=1 -2x+3y=-1 {6x-3y=-3 x+2y=7 Correction Etude de la fonction f: x x² : Ensemble de définition: Tout réel admet un carré, donc la fonction définie par f(x)=x² est définie sur . (ie Df =) Parité: pour tout réel x de , -x et pour tout réel x de , f(-x)=(-x)²=x²= f(x) Donc la fonction f est paire et sa courbe représentative P est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Il suffit donc de connaître sa courbe représentative sur l’intervalle [0 ;+ [ pour en déduire sa représentation graphique sur tout . Sens de variation: Quels que soit les réels u et v tel que u<v, on a f(u)- f(v)=u²-v²=(u-v)(u+v) 1er cas : u et v appartiennent à + (ie cas où 0uv) u+v0 car u et v positifs u – v0 car uv donc (u-v)(u+v)0 d’ou f(u)- f(v)0 ie f(u) f(v) f est donc strictement croissante sur +=[0;+ [ 2d cas : u et v appartiennent à - (ie cas où uv0) u+v0 car u et v négatifs u – v0 car uv donc (u-v)(u+v)0 d’ou f(u)- f(v)0 ie f(u) f(v) f est donc strictement décroissante sur -=]-;0] Tableau de variation: f(0)=0²=0 Minimum: La fonction f est décroissante sur ]-;0] avec f(0)=0 donc sur ]-;0] f(x) f(0) La fonction f est croissante sur [0;+ [ avec f(0)=0 donc sur [0;+ [ f(x) f(0) On conclut donc que la fonction f admet donc 0 comme minimum et que ce minimum est atteint pour x=0 x f - 0 0 +