Exercice

Exercice I. C est un cercle de rayon 1 cm et de centre O. On a les informations suivantes : A, B et C sont trois points du cercle C tels que : °== 30ˆˆ BOAAOC . I est le milieu de [AB], de telle sorte que °== 15ˆˆ BOIIOA . De plus, )()( BCOA ⊥ , )()( OIAB ⊥ , et D est le point d’intersection de (OA) et de (BC). 1) Ecrire en vert toutes les informations possibles sur le dessin. 2) Montrer que BI=° )15sin( . Critères de réussite : Citer le triangle utilisé, écrire les rapports de longueur, puis déduire la valeur demandée. 3) Montrer que 222 ABDABD =+ . Critères de réussite : Citer le triangle utilisé et le théorème utilisé. 4) A l’aide de la valeur exacte connue de )30sin( ° , montrer que 2/1=BD cm. Critères de réussite : Ecrire la valeur exacte demandée, citer le triangle utilisé, puis calculer la valeur demandée. 5) A l’aide de la valeur exacte connue de )30cos( ° , montrer que 2/3=OD cm, puis calculer la longueur DA. Critères de réussite : Ecrire la valeur exacte demandée, citer le triangle utilisé, puis calculer la valeur demandée. 6) A l’aide des 3 questions précédentes, montrer que 322 −=BA . Critères de réussite : Donner les détails du raisonnement. 7) Dans le triangle OAB, que représente la droite (OI) ? Justifier. En déduire que BIBA 2= . Critères de réussite : Citer le terme précis en le justifiant, citer la propriété utilisée. 8) A l’aide des questions 2), 7) et 6), montrer que 2 32 )15sin( − =° . Critères de réussite : Donner les détails du raisonnement et aboutir à la formule demandée. II. Le point A’ est diamétralement opposé à A sur le cercle C. R est placé sur [A’A] de telle façon que 3/'' AARA = . La perpendiculaire à (AA’) menée par R coupe (A’B) en P et (AB) en Q. 1) Calculer une mesure de l’angle BOA'ˆ . Critère de réussite : Citer la propriété utilisée et obtenir la mesure. 2) Montrer que )()'( ABBA ⊥ . Dans le triangle AA’Q, que représentent les droites (A’B) et (RQ) ? En déduire la nature du point P, puis montrer que )()'( AQPA ⊥ . Critères de réussite : Citer la propriété utilisée, les termes précis concernant les droites et le point P, et la propriété relative à P. 3) Montrer que )//()( PRBD . Quelle est la nature du quadrilatère DBPR ? Exprimer son aire en fonction de ses côtés. Calculer les longueurs A’D et A’R, puis en déduire la longueur PR. Critères de réussite : Citer les propriétés et théorèmes utilisés, détailler les calculs. O A B C A' DR Q P I