Devoir à la maison sur les fonctions usuelles
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Devoir Maison n°….
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Donné le ….
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/ …… A rendre pour le ….
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En plus des critères de réussite précisés, la notation prendra en compte :
- La correction du vocabulaire utilisé.
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Donné le ….
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/ …… A rendre pour le ….
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En plus des critères de réussite précisés, la notation prendra en compte :
- La correction du vocabulaire utilisé.
- La qualité de présentation.
- La qualité de rédaction : rédigez vos solutions de façon à ce que quelqu’un qui n’aurait pas lu l’énoncé puisse le reconstituer à partir de ce
que vous avez écrit.
Exercice :
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 3 et AC = 12.
E est un point du segment [AB].
On pose EB = x.
La parallèle à la droite (AC) passant par E coupe la droite (BC) en F.
La parallèle à la droite (AB) passant par f coupe la droite (AC) en G.
On admet que le quadrilatère AEFG obtenu est un rectangle.
Partie I :
a ) En utilisant le théorème de Thalès deux fois, montrer que
BE
BA
=
AG
AC
.
En déduire que AG = 4x.
b ) Montrer que l’aire du rectangle AEFG exprimée en fonction de x est 12x – 4x².
Partie II :
On considère la fonction A définie par A(x) = 12x – 4x² et dont le domaine de définition est [0;3].
1.
a ) Déterminer le(s) antécédents de 0 sur [0;3].
b ) A l’aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant :
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
A(x)
c ) Détailler le calcul fait à la main pour calculer l’image de 2 par f.
2.
a ) Vérifier que pour tout x de l’intervalle [0;3] on a A(x) = -(2x – 3)² + 9.
b ) Soit u et v deux éléments de [0;3].
Montrer que A(v) – A(u) = (v – u)(12 – 4u – 4v).
c ) En déduire le sens de variation de A sur [0;3
2
] puis sur [3
2
;3].
3.
Montrer par une méthode calculatoire que 9 est le maximum de f sur [0;3].
Quelle est la valeur de x correspondante ?
4.
Tracer le tableau de variations de f.
5.
Tracer la courbe représentative de la fonction A sur [0;3] dans un repère orthonormé ( unité graphique : 1cm ).
Partie III :
1.
Quelle est la position du point E sur le segment [AB] pour laquelle l’aire du rectangle AEFG est maximale ?
2.
Déduire de la question 1.
de la partie I la valeur de x pour laquelle le rectangle AEFG est un carré.
Déterminer alors
l’aire de AEFG.
Critères de réussite : Résultats justes, hypothèses du théorème de Thalès vérifiées, méthodes de calculs détaillées, représentation
graphique soignée et respect des unités graphiques, justification de la réponse à la question de la partie III.
A B
C
E
FG
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