Devoir à la maison sur les fonctions usuelles

Devoir Maison n°…. 2 nde …. . Donné le …. . / …. / …… A rendre pour le …. . / …. / …. . En plus des critères de réussite précisés, la notation prendra en compte : - La correction du vocabulaire utilisé. - La qualité de présentation. - La qualité de rédaction : rédigez vos solutions de façon à ce que quelqu’un qui n’aurait pas lu l’énoncé puisse le reconstituer à partir de ce que vous avez écrit. Exercice : Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 3 et AC = 12. E est un point du segment [AB]. On pose EB = x. La parallèle à la droite (AC) passant par E coupe la droite (BC) en F. La parallèle à la droite (AB) passant par f coupe la droite (AC) en G. On admet que le quadrilatère AEFG obtenu est un rectangle. Partie I : a ) En utilisant le théorème de Thalès deux fois, montrer que BE BA = AG AC . En déduire que AG = 4x. b ) Montrer que l’aire du rectangle AEFG exprimée en fonction de x est 12x – 4x². Partie II : On considère la fonction A définie par A(x) = 12x – 4x² et dont le domaine de définition est [0;3]. 1. a ) Déterminer le(s) antécédents de 0 sur [0;3]. b ) A l’aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant : x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 A(x) c ) Détailler le calcul fait à la main pour calculer l’image de 2 par f. 2. a ) Vérifier que pour tout x de l’intervalle [0;3] on a A(x) = -(2x – 3)² + 9. b ) Soit u et v deux éléments de [0;3]. Montrer que A(v) – A(u) = (v – u)(12 – 4u – 4v). c ) En déduire le sens de variation de A sur [0;3 2 ] puis sur [3 2 ;3]. 3. Montrer par une méthode calculatoire que 9 est le maximum de f sur [0;3]. Quelle est la valeur de x correspondante ? 4. Tracer le tableau de variations de f. 5. Tracer la courbe représentative de la fonction A sur [0;3] dans un repère orthonormé ( unité graphique : 1cm ). Partie III : 1. Quelle est la position du point E sur le segment [AB] pour laquelle l’aire du rectangle AEFG est maximale ? 2. Déduire de la question 1. de la partie I la valeur de x pour laquelle le rectangle AEFG est un carré. Déterminer alors l’aire de AEFG. Critères de réussite : Résultats justes, hypothèses du théorème de Thalès vérifiées, méthodes de calculs détaillées, représentation graphique soignée et respect des unités graphiques, justification de la réponse à la question de la partie III. A B C E FG